# 변환 기하

변환 기하(Transformational Geometry) 기하학적형이나 공간의 점들이 특정 규칙에 따라동하거나 변형되는 과정을 연구하는 기하학의 한 분야입니다. 이 분야는 도형의 위치, 방향, 크기 수학적으로 분석하고 표현하는 데 중점을 두며, 평면 기하학과 공간 기하학 모두에 적용됩니다. 변환 기하는 수학 교육뿐 아니라 컴퓨터 그래픽스, 물리학, 로봇 공학, 건축 설계 등 다양한 실용적 분야에서도 중요한 역할을 합니다.

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## 개요

변환 기하는 기하 도형의 **모양은 유지하면서 위치, 방향, 크기 등을 변화시키는 수학적 연산**을 다룹니다. 이러한 변환은 점, 선, 도형 등의 기하 객체를 새로운 위치나 형태로 매핑하는 함수로 정의할 수 있으며, 일반적으로 평면(2차원) 또는 공간(3차원)에서 다뤄집니다.

주요 변환 유형으로는 **합동 변환**(rigid transformation), **유사 변환**(similarity transformation), **아핀 변환**(affine transformation), **사영 변환**(projective transformation) 등이 있으며, 각각은 도형의 어떤 성질을 보존하는지에 따라 구분됩니다.

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## 주요 기하 변환 유형

### 1. 합동 변환 (Congruence Transformation)

합동 변환은 도형의 **모양과 크기를 완전히 유지**하면서 위치 또는 방향만을 바꾸는 변환입니다. 이 변환 후의 도형은 원래 도형과 **완전히 겹쳐지는 합동 도형**이 됩니다.

주요 합동 변환은 다음과 같습니다:

- **평행이동 (Translation)**  
  모든 점을 동일한 방향과 거리만큼 이동시키는 변환입니다. 회전이나 크기 변화 없이 단순히 "밀기"만 하는 동작입니다.

- **회전 (Rotation)**  
  특정한 점(회전 중심)을 기준으로 도형을 일정 각도만큼 돌리는 변환입니다. 평면에서는 중심점과 각도, 공간에서는 회전축과 각도로 정의됩니다.

- **대칭 (Reflection)**  
  직선(평면에서는 선대칭)이나 평면(공간에서는 면대칭)을 기준으로 도형을 거울처럼 뒤집는 변환입니다. 대칭 후의 도형은 원래 도형과 방향이 반대가 됩니다.

- **미끄러짐 대칭 (Glide Reflection)**  
  평행이동과 대칭을 결합한 변환으로, 한 방향으로 평행이동한 후 직선에 대해 대칭을 취하는 복합 변환입니다.

> 합동 변환은 거리와 각도를 모두 보존하므로, **등거리 변환**(isometry)이라고도 부릅니다.

### 2. 유사 변환 (Similarity Transformation)

유사 변환은 도형의 **모양은 유지하지만 크기는 달라질 수 있는** 변환입니다. 즉, 도형이 확대 또는 축소될 수 있지만, **각도는 보존**되고, **변의 비율은 일정**하게 유지됩니다.

- **확대/축소 (Dilation / Scaling)**  
  중심점에서 일정 비율로 모든 점을 멀어지게(확대) 또는 가까워지게(축소) 만드는 변환입니다. 비율이 1이면 변화 없음, 1보다 크면 확대, 작으면 축소입니다.

- 유사 변환은 평행이동, 회전, 대칭, 확대/축소를 조합하여 이루어질 수 있습니다.

> 유사 변환은 두 도형이 "닮은 도형"임을 판단하는 데 사용됩니다.

### 3. 아핀 변환 (Affine Transformation)

아핀 변환은 직선의 평행성과 비율을 보존하지만, 각도나 거리는 보존하지 않을 수 있는 더 일반적인 변환입니다. 이 변환은 선형 변환에 평행이동을 더한 형태로 표현됩니다.

주요 특징:
- 평행선은 변환 후에도 평행
- 직선은 직선으로 매핑
- 삼각형은 삼각형으로 변환 (다각형의 꼭짓점 수 유지)

대표적인 아핀 변환 예:
- **전단 변환 (Shear)**  
  도형을 한 방향으로 "비뚤어지게" 만드는 변환. 예: 사각형이 평행사변형으로 변함.

- **비균일 확대 (Non-uniform Scaling)**  
  x축과 y축 방향으로 다른 비율로 확대/축소.

아핀 변환은 컴퓨터 그래픽스에서 이미지 왜곡, 폰트 변형 등에 활용됩니다.

### 4. 사영 변환 (Projective Transformation)

사영 변환은 3차원 공간에서의 투영을 2차원 평면에 나타내는 변환으로, **직선은 직선으로 유지**되지만 평행성, 각도, 비율 모두 보존되지 않을 수 있습니다. 이는 카메라 촬영이나 원근법(perspective)을 수학적으로 모델링할 때 사용됩니다.

- 예: 정사각형이 사영 변환 후에는 사다리꼴이나 임의의 사각형으로 보일 수 있음.

- 사영 변환은 **사영 기하학**(Projective Geometry)의 핵심 개념이며, 컴퓨터 비전과 3D 렌더링에서 중요하게 다뤄집니다.

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## 변환의 표현 방법

기하 변환은 일반적으로 **행렬**을 이용해 대수 표현할 수 있습니다. 특히, **동차 좌표**(homogeneous coordinates)를 사용하면 평행이동을 포함한 모든 변환을 행렬 곱셈으로 통합할 수 있습니다.

예: 2차원 평행이동  
\[
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
\]

여기서 \( (t_x, t_y) \)는 평행이동 벡터입니다.

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## 응용 분야

- **컴퓨터 그래픽스**: 객체의 이동, 회전, 크기 조절(예: 게임, 애니메이션)
- **로봇 공학**: 로봇 팔의 운동 제어 및 위치 추정
- **지도 투영**: 지구 곡면을 평면 지도로 변환
- **이미지 처리**: 회전, 스케일링, 왜곡 보정
- **건축 및 설계**: 3D 모델링 소프트웨어에서의 변환 연산

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## 관련 문서 및 참고 자료

- [선형 변환](https://ko.wikipedia.org/wiki/선형_변환)
- [행렬 (수학)](https://ko.wikipedia.org/wiki/행렬)
- [사영 기하학](https://ko.wikipedia.org/wiki/사영_기하학)
- [컴퓨터 그래픽스의 기하 변환](https://www.khanacademy.org/computing/computer-programming/programming-games-visualizations)

> **참고 문헌**:  
> - Coxeter, H.S.M. (1969). *Introduction to Geometry*. Wiley.  
> - Armstrong, M.A. (1988). *Groups and Symmetry*. Springer.

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변환 기하는 기하학의 추상적 개념을 실세계 문제 해결에 연결하는 중요한 다리 역할을 합니다. 수학적 엄밀성과 실용적 응용이 결합된 이 분야는 현대 과학 기술의 기초를 이루는 핵심 요소 중 하나입니다.